とっくに明けました、おめでとうございます

去年の後悔→
コメントを残してくださったハンドルネームCoさんの正体がガチで知りたくなってしまった。
だって、こんな身内(しかもけっこうコアな人)しか突っ込めないような日記しか書いてないもの。(笑)
書き出しから明らかに『正常な』この人がすげー気になる。
でもまあ基本的に知ったところで意味ないのがまさしくトリビア。

：：：：：：
ということで、久々に数学系な日記。
超ばりばり理系向けです。

[問１]
x∈Rに対して、n∈N、m∈Nにて、

f_n,m(x)={cos(n!πx)}^2m

とする。

lim	{	lim	fn,m(x)	}
n→∞		m→∞

を求めよ。
//////////////////////////

fn(x)

＝

lim fn,m(x) m→∞

とする。
k∈Zとして

n!πx	＝	kπ	⇒			fn,m(x)	＝	1
n!πx	≠	kπ	⇒	0	≦	fn,m(x)	＜	1

ゆえに

fn(x)	＝	∥	1	(n!x∈Z)
		∥	0	(n!x∈{R＼Z})

が成り立つ。
①x∈Qのとき

∃p∈N　∃q∈Z　x＝

q p

なので、

∀n≧p　n!x∈Z

ゆえに、十分大きなnのときを考えればよいので、

lim fn(x) n→∞	＝	lim 1 n→∞
	＝	1

②x∈{R＼Q}のとき

∀p∈N　∀q∈Z　x≠

q p

なので、

∀n∈N　n!x∈{R＼Z}>

ゆえに

lim fn(x) n→∞	＝	lim 0 n→∞
	＝	0

よって、

lim { lim fn,m(x) } n→∞ m→∞	＝	∥	1	(x∈Q)
		∥	0	(x∈{R＼Q})