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mimicn
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ピッコロ狂人。数学廃人。
最近お菓子作りにはまってます。
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去年の後悔→
コメントを残してくださったハンドルネームCoさんの正体がガチで知りたくなってしまった。
だって、こんな身内(しかもけっこうコアな人)しか突っ込めないような日記しか書いてないもの。(笑)
書き出しから明らかに『正常な』この人がすげー気になる。
でもまあ基本的に知ったところで意味ないのがまさしくトリビア。

::::::
ということで、久々に数学系な日記。
超ばりばり理系向けです。

[問1]
x∈Rに対して、n∈N、m∈Nにて、

fn,m(x)={cos(n!πx)}2m
とする。
lim{limfn,m(x)}
n→∞m→∞
を求めよ。
//////////////////////////
fn(x)
limfn,m(x)
m→∞
とする。
k∈Zとして
n!πxfn,m(x)1
n!πx0fn,m(x)1
ゆえに
fn(x)1 (n!x∈Z)
0 (n!x∈{RZ})
が成り立つ。
①x∈Qのとき
∃p∈N ∃q∈Z x=
q

p
なので、
∀n≧p n!x∈Z
ゆえに、十分大きなnのときを考えればよいので、
limfn(x)
n→∞
lim1
n→∞
1
②x∈{RQ}のとき
∀p∈N ∀q∈Z x≠
q

p
なので、
∀n∈N n!x∈{RZ}>
ゆえに
limfn(x)
n→∞
lim0
n→∞
0

よって、
lim{limfn,m(x)}
n→∞m→∞
1 (x∈Q)
0 (x∈{RQ})


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